【図解付き】モンティ・ホール問題をわかりやすく解説してみた

   

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モンティ・ホール問題をわかりやすく図解付きで説明している。
今まで、モンティ・ホール問題に納得できなかった人に見てもらいたい。
 

モンティ・ホール問題とは

モンティ・ホール (Monty Hall、本名 Monte Halperin) が司会者を務めるアメリカのゲームショー番組、「Let's make a deal」の中で行われたゲームに関する論争に由来する。
モンティ・ホール問題

モンティ・ホール問題とは、確率論の有名な問題の一つ。
問題の内容自体は単純明快であるものの、「直感的な答えと、きちんと確率論に則って導き出された答えが異なる」という人が後を絶たない。
モンティ・ホール問題とは (モンティホールモンダイとは)

 

モンティ・ホール問題の内容

実際にどんな問題なのか見てみよう

(1) 3つの箱(A, B, C) に(アタリ、ハズレ、ハズレ)がランダムに入っている。
(2) プレーヤーは箱を1つ選ぶ。
(3) 出題者は残りの箱のうち1つを"必ず"開ける。
(4) 出題者の開ける箱は、"必ず"ハズレの箱である。
(5) 出題者はプレーヤーに箱を選び直すチャンスを"必ず"与える。
(6) 最初と違う箱を選んだ場合、アタリの確率は2/3である。

 

よくある勘違い

確率は1/3

出題者が箱を開けようが最初から確率は1/3のまま。
選び直す意味はない。
 

確率は1/2

出題者が1つ箱を開けたため箱は2個。
どちらを選んでも確率は1/2なので、選び直す意味はない。
 

モンティ・ホール問題の解説

本当に確率は2/3なのか?

実際にA(アタリ),B(ハズレ),C(ハズレ)の箱を順番に選んで確率を見てみよう。

「最初にA(アタリ)を選択した場合」
残ったもう1つの箱は必ずハズレである。
Monty1
 

「最初にB(ハズレ)を選択した場合」
残ったもう1つの箱は必ずアタリである。
Monty2
 

「最初にC(ハズレ)を選択した場合」
残ったもう1つの箱は必ずアタリである。
Monty3

2回目に箱を変えることで、アタリを選ぶ確立は2/3であることがわかってもらえただろうか。
 

2回目の選択肢の意味を考える

1回目と2回目の選択肢を切り離して考えれば、

1回目の選択肢でアタリを選ぶ確立は1/3
2回目の選択肢でアタリを選ぶ確立は1/2

となり、先ほど述べた"勘違い"をしてしまう。
 

しかし、実際は2回の選択権が与えられ
1回目の選択により、2回目の選択に影響を与えている。

1回目の選択肢でアタリを選ぶ確立は1/3
2回目の選択肢で
 箱を変えない場合、アタリを選ぶ確立は1/3
 箱を変えた場合、アタリを選ぶ確立は2/3

となる。
 

逆にハズレを選ぶ確立を考えるとわかりやすい。

最初にハズレの箱を選ぶ確立は2/3。
2回目の選択肢で、もうひとつの箱がアタリの確率も2/3となる。

:1/3とはならない。Aがアタリの確率が100%なら、もう1つの箱がハズレの確率は100%となる。0%ではない。
 

箱が10個の場合の確率

わかりやすくするために箱を10個に増やしてみよう。
Monty10

最初の選択肢でアタリを選ぶ確立は1/10。
逆に、最初にハズレを選ぶ確立は9/10となる。
 

出題者が8個のハズレの箱を開き、プレイヤーにもう一度選択権が与えられる。

どちらかがアタリで、どちらかがハズレだ。

最初に選んだ箱が9/10の確率でハズレだから、
2回目の選択肢で、もうひとつの箱がアタリの確率も9/10となる。

最初に選ぶハズレの確立が高いほど、もうひとつの箱がアタリの確率も高くなっていく。

100個なら99/100の確率で。
1000個なら999/1000の確率で。
 

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